پاسخ فعالیت صفحه 30 ریاضی یازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه ۳۰ ریاضی و آمار یازدهم انسانی دانش‌آموزان عزیز، این فعالیت مربوط به تعریف یک **تابع خطی** با **دامنهٔ گسسته** (مجموعه‌ای از اعداد صحیح) در یک مدل اقتصادی است. محور $\text{x}$ (افقی) **شمارهٔ ساعت کاری ($\\text{n}$)** و محور $\text{y}$ (عمودی) **هزینه دریافتی بر حسب ۵۰۰ تومان** است. ### ۱. مجموعه نقاط، دامنه و برد **الف) مجموعه نقاط (زوج مرتب‌های تابع):** نقاط را از روی نمودار استخراج می‌کنیم: $$ \text{f} = \left\{ (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 9), (9, 10), (10, 11), (11, 12) \right\} $$ **تذکر:** ساعت $12$اُم در نمودار نیامده است. **ب) دامنه و برد:** * **دامنه ($\\text{D}_\text{f}$):** مجموعه مؤلفه‌های اول (شمارهٔ ساعت کاری، $\text{n}$). $$\text{D}_\text{f} = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 \right\}$$ * **برد ($\\text{R}_\text{f}$):** مجموعه مؤلفه‌های دوم (هزینه دریافتی بر حسب ۵۰۰ تومان، $\text{y}$). $$\text{R}_\text{f} = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12 \right\}$$ **ج) رابطه میان دامنه و برد:** * $\text{D}_\text{f}$ و $\text{R}_\text{f}$ هر دو **مجموعه‌ای از اعداد صحیح گسسته** هستند. * چون تعداد اعضای دامنه ۱۱ عدد و تعداد اعضای برد نیز ۱۱ عدد است، می‌توانیم بگوییم یک **رابطه یک به یک (تک‌ایده‌ای)** برقرار است؛ به این معنا که **دو ساعت کاری متفاوت، هزینه دریافتی متفاوتی دارند.** --- ### ۲. حدس ضابطه تابع **ضابطه تابع خطی** به صورت $\text{y} = \text{ax} + \text{b}$ است. اما چون نقاط روی یک خط صاف نیستند، این تابع یک تابع **چندضابطه‌ای خطی** خواهد بود: **ضابطه اول (برای $\mathbf{1 \le \text{n} \le 7}$):** * نقاط $(1, 1)$ و $(7, 7)$. شیب $\text{a} = \frac{7-1}{7-1} = 1$. * $\text{y} = 1\text{n} + \text{b} \quad \Rightarrow \quad 1 = 1(1) + \text{b} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{b} = 0}$. * **ضابطه:** $\text{f}(\text{n}) = \mathbf{\text{n}}$ **ضابطه دوم (برای $\mathbf{8 \le \text{n} \le 11}$):** * نقاط $(8, 9)$ و $(11, 12)$. شیب $\text{a} = \frac{12-9}{11-8} = \frac{3}{3} = 1$. * $\text{y} = 1\text{n} + \text{b} \quad \Rightarrow \quad 9 = 1(8) + \text{b} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{\text{b} = 1}$. * **ضابطه:** $\text{f}(\text{n}) = \mathbf{\text{n} + 1}$ **حدس ضابطه تابع ($\\text{y}$ واحد ۵۰۰ تومانی است):** $$\text{f}(\text{n}) = \begin{cases} \mathbf{\text{n}} & \mathbf{1 \le \text{n} \le 7} \\ \mathbf{\text{n} + 1} & \mathbf{8 \le \text{n} \le 11} \end{cases}$$ --- ### ۳. وصل کردن نقاط (تغییر مفهوم، دامنه و برد) **الف) مفهوم نمودار وصل شده:** * اگر نقاط را به هم وصل کنیم، نمودار از حالت **گسسته (نقاط)** به حالت **پیوسته (خط)** تبدیل می‌شود. * **مفهوم جدید:** در حالت گسسته، هزینه فقط در ابتدای هر ساعت تعیین می‌شد. اگر نقاط را وصل کنیم، این به معنای این است که **در هر لحظهٔ زمانی بین ساعات کاری نیز می‌توان هزینه را محاسبه کرد.** این مدل نشان می‌دهد که هزینه در طول ساعت کاری **به تدریج** و به صورت خطی افزایش می‌یابد، که ممکن است با مدل 'ساعت کاری' مطابقت نداشته باشد. **ب) تغییر دامنه و برد:** * **دامنه ($\\text{D}_\text{f}$):** از مجموعهٔ گسسته به یک **بازهٔ پیوسته** تبدیل می‌شود. $$\text{D}_\text{f}' = \mathbf{\left[ 1, 11 \right]} \quad (\text{اعداد حقیقی بین } 1 \text{ و } 11)$$ * **برد ($\\text{R}_\text{f}$):** از مجموعهٔ گسستهٔ اعداد صحیح به یک **مجموعهٔ پیوسته** (اجتماع بازه‌ها) تبدیل می‌شود. * بخش اول ($1 \le \text{n} \le 7$): برد $\mathbf{[1, 7]}$ * بخش دوم ($8 \le \text{n} \le 11$): برد $\mathbf{[9, 12]}$ * برد جدید: $\text{R}_\text{f}' = \mathbf{[1, 7] \cup [9, 12]}$ (اجتماع دو بازه)